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CASO X

SUMAO DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

156. Aplicando el Teorema del  Residuo(102), probamos que:

I.   an – bn es divisible por a - b siendo n par o impar.

II.  an + bn es divisible por a + b siendo n  impar.

III. an – bn es divisible por a + b cuando n  es par.

IV. an + bn nunca es divisible por a-b.

 Y vimos el modo de hallar el cociente cuando la división era exacta.

157. FACTORAR UNA SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IMPARES IGUALES.

Ejemplos

(1)   .Factorar m5+ n5

Dividiendo entre m + n (96, 4º.) los signos del cociente son alternativamente + y -:

= m4 - m 3n + m2n2 – mn3 + n4

Luego m5+ n5= (m + n)( m4 - m 3n + m2n2 – mn3 + n4).  R

 

(2) .Factorar x5 +32.

Esta expresión puede escribirse x 5+ 25. Dividiendo por x + 2, tenemos:

          = x4 - x3 (2)+ x2 (2)2-x(2)3 +24

O sea = x4 - 2x3 + 4x2 -8x +16

 

Luego x 5+ 25= (x +2)(x4 - 2x3 + 4x2 -8x +16). R.

 

(3) Factorar a5 – b5.

Dividiendo por a - b (96, 4º.) los signos del cociente son todos +:

= a4 + a3b + a2b2 + ab3 +b4

Luego a5 – b5=(a – b)( a4 + a3b + a2b2 + ab3 +b4 ).  R.

(4) Factorar x7 -1.

 Esta expresión equivale a x7 -17. Dividiendo entre x -1, se tiene:

            = x6 + x5 (1)+ x4 (12)+ x3 (13)+ x2 (14) + x (15) + 16

O sea   = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

Luego x7 -1=(x-1)( x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1).  R.

NOTA

Expresiones que corresponden al caso anterior xn + yn o  xn - yn en que n es impar y múltiplo de 3, como, x3y3 ,x9 + y9, x 9- y9 ,x15 + y15, x15 - y15, pueden descomponerse por el método anteriormente expuesto o como suma o diferencia de cubos. Generalmente es más expedito esto último. Las expresiones de la forma xn - yn en que n es par, como x4 – y4, x6 – y6, x8 – y8 son divisibles por x + y o x - y, y pueden descomponerse por el metodo anterior, pero mucho más fácil es factorarlas como diferencia de cuadrados.

 

Ejercicios 105

 

Factorar:

  1. a5 + 1
  2. a5 - 1
  3. 1+ 243x5
  4. 1- 128a7
  5. 32 - m5
  6. a7 + b7

 

Descomponer en factores:

  1. 5a2 + a
  2. m2 + 2mx + x2
  3. 16a2 - 24ab + 9a2
  4. 1 -
  5. 2x2 + 2
  6. c4- 4d4
  7. 1- a2b4
  8. a2- (b + c)2
  9. 1- m2
  10. 4 a6 - 1
  11. 2x2 + 2
  12. x3- 64
  13. 1 + 1000x6
  14. a6 + 1
  15. ax +a – x - 1
  16. 1 - 4b + 4b2

 

 

COMBINACION DE CASOS DE FACTORES

 158  DESCOMPOSCION DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA EN TRES FACTORES

 

(1) Descomponer en tres factores 5a2 - 5.

Lo primero que debe hacerse es ver si hay algún factor común, y si lo hay, sacar dicho factor común.

Así, en este caso, tenemos el factor común 5, luego:

5a2 – 5 =  5(a2 - 1)

Pero el factor (a2 - 1) = (a + 1) (a  - 1), luego:

                       5a2 – 5 = 5(a + 1) (a - 1)  R.

donde vemos que 5ª2 - 5 está descompuesta en tres factores.

 

(2) Descomponer en tres factores 3x 3- 18x 2 y+ 27xy2. Sacando el factor común 3x:

3x 3- 18x 2 y+ 27xy2= 3x(x2 -6xy + 9y2 )

pero el  factor  (x2 -6xy + 9y2 )es un trinomio cuadrado perfecto que descompuesto da (x2 -6xy + 9y2 ) =(x-3y)2, luego:

3x 3- 18x 2 y+ 27xy2= 3x =(x-3y)2. R.

 

(3). Descomponer en tres factores x4 – y4.

       x4 – y4 = (x2  + y2 )  (x2  - y2 )

         pero, (x2  - y2 ) = (x  + y )  (x  - y ), luego:

       x4 – y4 = (x2  + y2 )  (x  + y )  (x  - y ). R.

 

(4). Descomponer en tres factores 6ax2 + 12ax – 90a .

       sacando el factor comun 6a :

       6ax2 + 12ax – 90a = 6a (x2 + 2x -15)

       pero    (x2 + 2x -15) = (x +5)(x -3), luego,

              6ax2 + 12ax – 90a = 6a ( x+5)(x -3). R.

(5).Descomponer en tres factores 3x4 – 26x2 – 9.

Factorando esta expresión: 3x4 – 26x2 – 9 =(3x2 + 1) (x2 – 9)

                                                                   =  (3x2 + 1) (x – 3) (x + 3). R.

 

(6).Descomponer en tres factores 8x3 + 8.

                                                      8x3 + 8 = 8(x3+1)

                                                                 =  8(x + 1)(x2 – x + 1). R.

(7).Descomponer en tres factores a4 – 8a + a3 -  8.

                                                      a4 – 8a + a3 – 8 =(a4 – 8a ) + (a3 – 8)

                                                                                =a (a3 – 8)+(a3 -8)

                                                                                = (a +1) (a3- 8)

                                                                                = (a + 1)(a - 2)(a2 + 2a +4). R.

(8).Descomponer en tres factores x3 -4x – x2 + 4.

                                                      x3 -4x – x2 + 4 = (x3 – 4x)-(x2 – 4)

                                                                              = x (x2 – 4) – (x2 – 4)

                                                                              = (x – 1)(x2 – 4)

                                                                              = (x – 1)(x + 2)(x + 2). R.

Ejercicio 107.

Descomponer en tres factores:

1                    3ax2 -3ª.

2                    2a3-2.

3                    5a4 + 5a.

4                    n4 – 81.

5                    8ax2 -2a.

6                    x3 – 6x2 -7x.

7                    x4 – x3 + x2- x.

8                    4x2 + 32x -36.

9                    a6 + a.

10                4a2x3 -4a2.

11                28x3y -7xy3.

12                X4 -8x2 -128.

13                64a- 125a4.

14                3a5  + 3a3  +3a.

 

159 DESCOMPOSICION DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA EN

CUATRO FACTORES

Ejemplos:

 

(1) Descomponer en cuatro factores 2x4 - 32.

                                                          2x4 – 32 =2(x4 -16)

                                                                         = 2(x2 +4) (x2 - 4)        

                                                                         = 2(x2 + 4)(x+2)(x-2). R.

                                                                                                                          

(2) Descomponer en cuatro factores a6-b6

Esta expresión puede factorarse como diferencia de cuadrados o como diferencia de cubos. Por los dos métodos obtenemos resultados idénticos.

Factorando como diferencia de cuadrados:

                                         a6 – b6   = (a3  + b3)  (a3  - b3) 

(factorando  a3  + b3  y a3  - b3)= ( a + b)(a2 –ab +b2) ( a - b)(a2 + ab +b2). R.

factorando como diferencia  de cubos:

             a6 – b6   = (a2  - b2)  ( a - b)(a4 + a2  b2+ b2)

                          =(a + b)(a – b) )(a2 + ab +b2) )(a2 –ab +b2). R.

(a4 + a2  b2+ b2 se descomponen como tyrinomiocuadrado perfecto por adicion y sustracción ).

El resultado obtenido por este método es idéntico al anterior, ya que el orden de los factores no altera el producto.

(3). Descomponer en cuatro factores x4 -13x2 +36.

                      x4 -13x2 +36 = (x2 – 9)( x2 – 4)

      (factorando  x2 – 9 y  x2 – 4) =(x +3)(x-3)(x + 2)(x – 2). R.

(4). Descomponer en cuatro factores 1 – 18x2  + 81x4.

                             1 – 18x2  + 81x4 = (1 – 9x2)2

       (factorando  1 – 9x2) = [(1 +3x)(1 – 3x)]2

                                         = [(1 +3x)2(1 – 3x)2. R.

(5). Descomponer en cuatro factores 4x5 – x3 + 32x2 -  8.

                  4x5 – x3 + 32x2 -  8 = (4x5 – x3) + (32x2 -  8)

                                                 = x3(4x2 -  1) + 8(4x2 -  1)

                                                 = (4x2 -  1) (x3 +8)

     (factorando 4x2 -  1 y 4x2 -  1) = (2x + 1)(2x – 1)(x + 2)(x2 – 2x + 4). R.

(6). Descomponer en cuatro factores x8 – 25x5 - 54x2 .

                  x8 – 25x5 - 54x2 = x2(x6 – 25x3 – 54)

                                           = x2(x3 -  27) (x3 + 2)

     (factorando       x3 -  27) = x2(x – 3)(x2 +3x +9)(x3 +2). R.

Ejercicios 108

Descomponer en cuatro factores:

  1. 1 – a8
  2. a6 -1
  3. 3x4 -243
  4. x8 – y8
  5. 64 – x6
  6. 8x4 + 6x2 -2
  7. 1 -2a3  + a6                                
  8. m6 -729
  9. x5 –x
  10. 1 –a6b6

Ejercicios 109

Descomponer en cinco factores:

  1. x9 – xy8
  2. 4x4 -8x2 + 4
  3. a7 –ab6
  4. 3 -3a6

Descomponer en seis factores:

1        x17 – x

2        3x6 -75x4 -48x2 + 1200

160  SCOMPOSICION DE UN POLINOMIO EN PACTORES POR EL MET0DO DE EVALUACION

En la Divisibilidad por x - a (101) hemos demostrado que si un polinomioentero y racional en x se anula para x =a, el polinomio es divisibler x - a. Aplicaremos ese principio a la descomposición de un polinomio de factores por el Método de Evaluación.

(1 ) Descomponer por evaluación x3 + 2x2 – x - 2.

Los valores que daremos a x son los factores del término independiente 2 que son   +1, -1,+2 y  - 2 . Veamos si e polinomio se anula para x=1, x= -1,x=2, x = -2 y si se anula paro algunos de estos valores, el polinomio será divisible por x menos ese valor.

Aplicando la divisibilidad  sintética explicada en el número (lOO) y lOl ),veremos sí el polinomio se anula paro estos valores de x y simultáneamente hallamos los coeficientes del cociente de la división. En este caso, tendremos:

 

Dividiendo x3 + 2x2 - x - 2 entre x  -1 el cociente sera de 2º. grado y sus coeficientes son 1, 3 y 2, luego el cociente es x2 + 3x + 2 y como el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, tendremos:

x3 + 2x2 - x - 2= (x-1)( x2 + 3x + 2)

(factorando el trinomio) = (x - 1)(x + 1 )(x + 2). R.

 

(2) Descomponer por evaluación x3 - 3x2 - 4x + 12.

Los factores de 12 son (1, 2, 3, 4, 6, 12).

 

 

 

 

 

PRUEBAS

 

El cociente de dividir el polinomio dado x3 -  3x2 - 4x + 12 entre x - 2 sera de 2° grado y sus coeficientes son 1, -1 y - 4 luego el cociente sera  x2 – x - 6.

Por tanto:

x3 -  3x2 - 4x + 12= (x - 2) (x2 -  x - 6)

(factorando el trinomio) = (x - 2) (x - 3) (x + 2). R.

(3)Descomponer por evaluación x4 -  11 x2  - 1 8x  -  8.

 Los factores de 8 son ± (1, 2, 4, 8).

Al escribir los coeficientes del polinomio dado hay que poner cero en el lugar correspondiente a los términos que falten. En este caso, ponemos cero en lugar correspondiente al término en x3 que falta.

PRUEBAS

Se anula para x = -1, luego el polinomio dado es divisible por: x3 – x2 -10x  -8

x -(-1) = x + 1.

El cociente de dividir x4 -  11 x2  - 1 8x  -  8entre x + 1 será de 3er. grado y sus coeficientes son 1,- 1, - 10 y -8, luego el cociente será x3 – x2 -10x  -8.

Por tanto: x4 -  11 x2  - 1 8x  -  8 = (x + 1)( x3 – x2 -10x  -8). (1.)

Ahora vamos a descomponer x3 – x2 -10x  -8 por el mismo método. El valor x = 1, que no anuló al polinomio dado, no se prueba porque no puede anular a este polinomio.

El valor x = - 1, que anuló al polinomio dado, se prueba nuevamente. Tendremos:

 

 

Se anula para x=-l, luego x3 – x2 -10x  -8x es divisible por x + 1. El cociente será x2 - 2x -8, luego

x3 – x2 -10x  -8= (x + 1) (x2 - 2x -8).

Sustituyendo en (1) este valor, tenemos:

x4 -  11 x2  - 1 8x  -  8 x2 - 2x -8= (x + 1) (x + 1) (x2 - 2x -8)

(foctorondo el trinomio) = (x + 1) (x + 1) (x —4) (x + 2)

                                       =(x+1)2 (x + 2) (x —4) R.

(4) Descomponer por evaluación x5  -x4 - 7x3 7x 2 + 22x + 24.

Los factores de 24 son ± (1, 2, 3, 4,6, 8, 12, 24).

PRUEBAS

Se anulo para x = -1, luego es divisible por x + 1. El cociente será x4- 2x3 - 5x2 - 2x + 24, luego:

x5  -x4 - 7x3 7x 2 + 22x + 24 = (x + 1) (x4- 2x3 - 5x2 - 2x + 24).         (1)

Ahora descomponemos x4- 2x3 - 5x2 - 2x + 24. Se pruebo nuevamente x = -1.

 

Se anula para x = 2, luego x4- 2x3 - 5x2 - 2x + 24es divisible por x -  2. El cociente es x3 -5x -12), Luego:

x4- 2x3 - 5x2 - 2x + 24 = (x -2 )( x3 -5x -12)

Sustituyendo esto descomposición en (1), tenemos:

x5  -x4 - 7x3 7x 2 + 22x + 24=(x +1)(x + 2)(x – 3)( x3 -5x -12)  (2)

Ahora  descomponemos x3 -5x -12. Se prueba nuevamente x = 2, poniendo cero en el lugar correspondiente a x2, que falta. Tendremos:

 

Se anula para x = 3, luego x3 -5x -12es divisible por x -  3. El cociente es x2 +3x  + 4 , Luego:

x3 -5x -12 = (x -3 )( x2 +3x  + 4)

Sustituyendo esto descomposición en (2), tenemos:

x5  -x4 - 7x3 7x 2 + 22x + 24=(x +1)(x + 2)(x – 3)( x2 +3x  + 4)  (2)

(El trinomio x2 +3x  + 4 no tiene descomposición).

 

(5)Descomponer por evaluación 6x5 + 19x4 — 59x3 — 160x2 — 4x + 48.

Los factores de 48: son  (1, 2, 3, 4, 6, 8,12, 6, 24, 48) Probando para x = 1, x = -1 = 2, veríamos que el polinomio no se anula

Probando paro x =-2:

Se anula, luego:

 

6x5 + 19x4 — 59x3 — 160x2 — 4x + 48 = (x + 2)( 6x4 +  7x3 - 73x2 — 160x2  -  14x + 48). (1)

Ahora descomponemos 6x4 +  7x3 - 73x2 — 160x2  -  14x + 48 Probando x = - 2 veriamos que no se anula. Probando x = 3.

Se anula, luego;

6x4 +  7x3 - 73x2 — 160x2  -  14x + 48 = (x  -3) (6x3 + 25x2 + 2x – 8).

Sustituyendo esta descomposición en (1):

6x5 + 19x4 — 59x3 — 160x2 — 4x + 48 = (x + 2) (x —3) (6x3 + 25x2 + 2x – 8) (2)

 Ahora descomponemos 6x3 + 25x2 + 2x – 8.x= - 3 no se prueba, aunque anuló al polinomio anterior, porque 3 no es factor del termino independiente 8

Si probamos x = 4, veramos que no anulao este polinomio. Probando x = -4:

Se anula, luego:

6x5 + 19x4 — 59x3 — 160x2 — 4x + 48 = (x + 4)( 6x2 + x – 2).

Sustituyendo esta descomposición en (2), tenemos:

6x5 + 19x4 — 59x3 — 160x2 — 4x + 48 = (x + 2) (x —3) (x + 4)(6x2 + x – 2).

(factorando el trinomio) = (x + 2) (x —3) (x + 4)(3x +2)( 2x -1).  R.

(6) Descomponer por evaluacion 3a6 – 47a4 – 21a2 + 80.

Al escribir los coeficientes tenemos que poner cero como coeficiente de los términos en a5,  en a3 y en a, que faltan.

Haciendo a =1 , a = -1, a = 2, a= -2 veríamos que el polinomio no su anula.

 

Probando a =4;

Se anula, luego:

3a6  -47a4 -21a2 + 80= (a – 4)(3a5 + 12a4  + a3 + 4a2 – 5a -20). (1)

Para descomponer el cociente, si probamos a = 4 veremos que no se anula.

 

Probando a =-4:

Se anula, luego:

3a5 + 12a4  + a3 + 4a2 – 5a -20 =  (a – 4)(3a4  + a2 -5).

Sustituyendo en (1)

3a6  -47a4 -21a2 + 80= (a - 4) (a + 4)  (3a4  + a2 -5). R.

El trinomio 3a4 + a2 -5 no tiene descomposición.).

EJERCICIO 110

Descomponer por evaluación:

  1. x3-x2-x-1

2.   x3-4x2+x+6

  1. n3-7n+6n
  2. m3-12m+16
  3. 2x3-x2-18x+9
  4. a3+a2-13a-28